Ítem
Acceso Abierto
Filtros en espacios de Banach
Título de la revista
Autores
Duque Báez, Nicolás
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Fecha
2021-11-24
Directores
del Valle Salas-Brown, Margot
ISSN de la revista
Título del volumen
Editor
Universidad del Rosario
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Resumen
Las sucesiones juegan un papel fundamental en las matemáticas por su utilidad en las demostraciones de teoremas y propiedades de la topología, también son fundamentales en las matemáticas aplicadas. Solo por nombrar ejemplos, las sucesiones son claves en la caracterización de funciones continuas o en la caracterización de subconjuntos compactos en espacios metrizables, son usadas para demostrar la existencia de soluciones de ciertas ecuaciones a través del Teorema del Punto Fijo o en métodos iterativos como el de divide y vencerás, e incluso en la notación asintótica que permite estimar la eficiencia de un algoritmo. En los últimos 50 años, aproximadamente, diversos matemáticos han realizado contribuciones sobre generalizaciones de este concepto. Específicamente, han realizado generalizaciones del concepto clásico de convergencia por medio de nociones conjuntistas. Por ejemplo, Kostyrko, Šalát y Wilczyński usan la noción de ideal topológico, introducida por Kuratowski en el año 1933, para generar una convergencia de sucesiones vía ideales. También es muy conocida la generalización de convergencia de sucesiones usando la noción de filtro, los cuales fueron introducidos por Cartan en 1937. No se sabe a ciencia cierta quien introduce la noción de convergencia usando filtros, lo que sí es cierto es que ya forma parte del folklore dentro de la topología y es usada por muchos matemáticos para realizar generalizaciones de teorías basadas en este concepto. En este trabajo se realiza un estudio de los filtros, se dan ejemplos, se enuncian y se demuestran sus principales propiedades. Se hace uso del Lema de Zorn para garantizar la existencia, bajo ciertas condiciones, de los ultrafiltros (filtros maximales), se dota a la colección de todos los ultrafiltros sobre N de una topología, el espacio topológico obtenido resulta siendo la compactificación de Stone-Čech de los números naturales. Luego, dado un filtro F, se estudia la noción de sucesión F−convergente sobre un espacio topológico. Puntualmente, se desglosa el artículo de Ferreira, en el cual se trabaja el concepto de convergencia de sucesiones usando filtros libres sobre los números naturales. Además, se caracterizan nociones comunes de la topología como: punto de adherencia o acumulación y el comportamiento de sucesiones F−convergentes bajo funciones continuas. Tal y como ya se habia mencionado, en el año 2000 Kostyrko, Šalát y Wilczyński generalizan la noción de convergencia por medio de una estructura dual a la de filtros: los ideales. En este artículo, para un ideal I, se introduce la noción de I−convergencia, se estudian propiedades y caracterizaciones, entre otras cosas. Sobre la misma década se introducen las nociones de sucesión I−Cauchy, I−convergencia débil e I−convergencia débil∗. La noción de I−Cauchy fue introducida en el año 2005, por Dems, en este trabajo se estudia la relación que existe entre las sucesiones I−Cauchy y las sucesiones I−convergentes, aun cuando podría pensarse que estas nociones podrían conducir a un I−espacio de Banach, sorprende leer el resultado proporcionado por los autores en donde caracterizan los espacios de Banach en términos de sucesiones I−Cauchy y las sucesiones I− convergentes, lo cual proporciona una herramienta adicional para el estudio de este tipo de espacios. En el año 2010 Pelihvan, Şençimen y Yaman trabajan las nociones de I−convergencia débil e I−débil∗ y establecen propiedades de éstas similares a las que satisfacen las sucesiones débilmente convergente y las sucesiones de operadores débilmente* convergentes. En este trabajo, se realiza un estudio de nociones de convergencia desde el punto de vista de filtros, lo cual representa un aporte modesto a la literatura ya que hasta la fecha no se han encontrado referencias que evidencien la existencia de estas. Finalmente, las notaciones asintóticas son comprendidas como la herramienta fundamental para estimar la complejidad computacional de los algoritmos, es decir, estudiar su tasa de crecimiento. Teniendo en cuenta la naturaleza de las notaciones asintóticas, es posible interpretarlas en términos de sucesiones y, por tanto, generalizarlas usando filtros. De manera que, en este trabajo, se introduce una generalización de las notaciones asintóticas: OF y oF, se establecen relaciones entre estas dos notaciones, las propiedades que satisfacen, así como también se relacionan con las nociones previamente definidas y estudiadas.
Abstract
Sequences play a fundamental role in mathematics because of their usefulness in the proofs of theorems and properties of topology, they are also fundamental in applied mathematics. Just to name a few examples, sequences are key in the characterization of continuous functions or in the characterization of compact subsets in metrizable spaces, they are used to prove the existence of solutions of certain equations through the Fixed Point Theorem or in iterative methods such as divide and conquer, and even in the asymptotic notation that allows estimating the efficiency of an algorithm. In the last 50 years or so, several mathematicians have made contributions on generalizations of this concept. Specifically, they have made generalizations of the classical concept of convergence by means of conjunctive notions. For example, Kostyrko, Šalát and Wilczyński use the notion of topological ideal, introduced by Kuratowski in 1933, to generate a convergence of sequences via ideals. Also well known is the generalization of convergence of sequences using the notion of filter, which were introduced by Cartan in 1937. It is not known for sure who introduced the notion of convergence using filters, what is certain is that it is already part of the folklore within topology and is used by many mathematicians to make generalizations of theories based on this concept. In this work a study of filters is made, examples are given, their main properties are stated and demonstrated. Use is made of Zorn's Lemma to guarantee the existence, under certain conditions, of ultrafilters (maximal filters), the collection of all ultrafilters over N is endowed with a topology, the topological space obtained turns out to be the Stone-Čech compactification of the natural numbers. Then, given a filter F, the notion of F-convergent succession over a topological space is studied. Punctually, Ferreira's article is broken down, in which the concept of convergence of sequences using free filters on the natural numbers is worked out. In addition, common notions of topology such as: point of adhesion or accumulation and the behavior of F-convergent sequences under continuous functions are characterized. As already mentioned, in 2000 Kostyrko, Šalát and Wilczyński generalize the notion of convergence by means of a dual structure to that of filters: ideals. In this paper, for an ideal I, the notion of I-convergence is introduced, properties and characterizations are studied, among other things. Over the same decade, the notions of I-Cauchy succession, weak I-convergence and weak I-convergence∗ are introduced. The notion of I-Cauchy was introduced in the year 2005, by Dems, in this work the relation between I-Cauchy sequences and I-convergent sequences is studied, even when it could be thought that these notions could lead to a Banach I-space, it is surprising to read the result provided by the authors where they characterize Banach spaces in terms of I-Cauchy sequences and I-convergent sequences, which provides an additional tool for the study of this type of spaces. In 2010 Pelihvan, Şençimen and Yaman work on the notions of weak I-convergence and I-weak∗ and establish properties of these similar to those satisfied by weakly convergent sequences and sequences of weakly*convergent operators. In this work, a study of notions of convergence from the point of view of filters is carried out, which represents a modest contribution to the literature since no references evidencing the existence of these have been found to date. Finally, asymptotic notations are understood as the fundamental tool to estimate the computational complexity of algorithms, that is, to study their growth rate. Considering the nature of asymptotic notations, it is possible to interpret them in terms of sequences and, therefore, to generalize them using filters. Thus, in this paper, a generalization of the asymptotic notations OF and oF is introduced, relations between these two notations, the properties they satisfy, as well as their relation with the previously defined and studied notions are established.
Palabras clave
Filtros , Ultrafiltros , Convergencia , Sucesiones , Notación asintótica
Keywords
Filters , Ultrafiltes , Banach , Convergence , Sequences , Asymptotic notations
