Jump telegraph processes and a volatility smile

Ratanov, Nikita

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Jump telegraph processes and a volatility smile

https://repository.urosario.edu.co/handle/10336/27915

Autores

Ratanov, Nikita

Fecha

2008-01-01

Editor

Ca 'Foscari University of Venice

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Resumen

Seguimos estudiando modelos de mercado financiero basados ??en procesos telegráficos generalizados con velocidades alternas. El modelo se suministra con saltos que ocurren en los momentos de cambios de velocidad. Este modelo es libre de arbitraje y completo si las direcciones de los saltos en los precios de las acciones están en cierta correspondencia con su velocidad y con el comportamiento de las tasas de interés. Se construyen una medida neutral al riesgo y fórmulas libres de arbitraje para una opción de compra estándar. Se prueba una nueva versión de convergencia bajo escalado adecuado al modelo de Black-Scholes y se obtiene el límite explícito. A continuación, examinamos numéricamente las fórmulas explícitas de precios call para obtener el comportamiento de las volatilidades implícitas. Además, este modelo tiene algunas características de los modelos con memoria. La volatilidad histórica del modelo de telégrafo de salto es similar a la volatilidad histórica del modelo de tipo de media móvil.

Abstract

We continue to study financial market models based on generalized telegraph processes with alternating velocities. The model is supplied with jumps occurring at the times of velocity switchings. This model is arbitrage-free and complete if the directions of jumps in stock prices are in a certain correspondence with their velocity and with the behaviour of the interest rates. A risk-neutral measure and arbitrage-free formulae for a standard call option are constructed. A new version of convergence under suitable scaling to the Black-Scholes model is proved, and the explicit limit is obtained. Next, we examine numerically the explicit formulae for call prices to obtain the behaviour of implied volatilities. Moreover, this model has some features of models with memory. The historical volatility of jump telegraph model is similar to historical volatility of the moving average type model.