Ítem
Acceso Abierto
Solución de los patrones de Turing empleando el método de los elementos finitos
Título de la revista
Autores
Beltrán Ríos, Juan Esteban
Fecha
2025-12-04
Directores
Guerrero Vargas, José Alejandro
ISSN de la revista
Título del volumen
Editor
Universidad del Rosario
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Resumen
En este trabajo se muestra la solución numérica de los patrones de Turing, tratando específicamente el caso del modelo de Schnakenberg. Estos patrones surgen a partir de las inestabilidades generadas por la interacción entre químicos difusores y reactivos en sistemas inicialmente homogéneos, siendo fundamentales para comprender procesos como la morfogénesis y autoorganización biológica. Por la complejidad no lineal de las ecuaciones que los describen, se requiere de métodos numéricos que aproximen su solución. La investigación realizada propone una implementación del modelo de Schnakenberg en el software libre FEniCSx, partiendo de la formulación variacional de las ecuaciones y su discretización mediante elementos finitos. Para esto se definen condiciones de frontera de tipo Neumann homogéneas y un esquema temporal implícito resuelto por el método de NewtonRaphson. La simulación se realiza sobre un dominio cuadrado unitario con diferentes combinaciones de parámetros que controlan la difusión, la intensidad de reacción y el tiempo de integración, con lo que se reproducen distintas configuraciones espacio-temporales de los patrones. Los resultados obtenidos se visualizan con archivos XDMF y el software ParaView, mostrando la evolución dinámica de las concentraciones. Los patrones generados son coherentes con los realizados en otros estudios, confirmando la validez del enfoque numérico. Se observa como el contraste difusivo entre las especies hace de generador de inestabilidad y el parámetro de reacción γ controla la frecuencia y el número de estructuras formadas. Es así que, el modelo reproduce desde manchas aisladas hasta configuraciones reticulares estables, dependiendo de los parámetros empleados. El correcto funcionamiento de FEniCSx demuestra que es una alternativa poderosa y accesible comparado a herramientas de código cerrado, facilitando el avance de la modelación matemática en biología, ingeniería y materiales. De esta forma, se dan las bases para futuras investigaciones orientadas a dominios más complejos, análisis de bifurcaciones y optimización de modelos reacción-difusión.
Abstract
This paper presents the numerical solution of Turing patterns, specifically addressing the Schnakenberg model. These patterns arise from instabilities generated by the interaction between diffusing and reacting chemicals in initially homogeneous systems, and are fundamental to understanding processes such as morphogenesis and biological self-organization. Due to the nonlinear complexity of the equations that describe them, numerical methods are required to approximate their solution. This research proposes an implementation of the Schnakenberg model in the free software FEniCSx, starting from the variational formulation of the equations and their discretization using finite elements. For this purpose, homogeneous Neumann boundary conditions and an implicit time scheme solved by the Newton-Raphson method are defined. The simulation is performed on a unitary square domain with different combinations of parameters that control diffusion, reaction intensity, and integration time, thereby reproducing different spatiotemporal configurations of the patterns. The results obtained are visualized using XDMF files and ParaView software, showing the dynamic evolution of concentrations. The generated patterns are consistent with those of other studies, confirming the validity of the numerical approach. It is observed how the diffusion contrast between species acts as a generator of instability, and the reaction parameter γ controls the frequency and number of structures formed. Thus, the model reproduces everything from isolated spots to stable lattice configurations, depending on the parameters used. The correct operation of FEniCSx demonstrates that it is a powerful and accessible alternative to closed-source tools, facilitating the advancement of mathematical modeling in biology, engineering, and materials. This lays the groundwork for future research focused on more complex domains, bifurcation analysis, and optimization of reaction-diffusion models
Palabras clave
Patrones de Turing , Metodo de los elementos finitos , Simulación computacional , FEniCS Project , Modelo de Schnakenberg , Metodos numéricos
Keywords
Turing patterns , Finite element method , Schnakenberg , Numerical methods , FEniCS Project , Schnakenberg model
