Ítem
Acceso Abierto
Cohomologia de De Rham y dualidad de Poincare
Título de la revista
Autores
Caro Valencia, Johan Santiago
Fecha
2026-06-19
Directores
Arias Uribe, Juan Camilo
ISSN de la revista
Título del volumen
Editor
Universidad del Rosario
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Resumen
Esta tesis presenta un desarrollo riguroso y autocontenido de la cohomología de De Rham y el teorema de dualidad de Poincaré, resultados fundamentales que conectan el análisis diferen- cial con la topología global. El trabajo inicia estableciendo las bases del álgebra exterior, el álgebra homológica y la geometría de las variedades diferenciables. A partir de allí, se unifica el cálculo mediante la teoría de las formas diferenciales, culminando en el teorema de Stokes generalizado. Esta maquinaria analítica permite construir el complejo de De Rham y calcular sus invariantes homotópicos mediante la secuencia de Mayer-Vietoris. Posteriormente, se de- sarrolla la cohomología con soporte compacto para demostrar el isomorfismo de la dualidad de Poincaré utilizando el emparejamiento de integración y el lema de los cinco. Finalmente, se exploran las profundas consecuencias de esta simetría, abarcando desde invariantes clásicos como los números de Betti y la característica de Euler, hasta aplicaciones en la física teórica.
Abstract
This thesis presents a rigorous and self-contained development of de Rham cohomology and the Poincaré duality theorem, fundamental results bridging differential analysis and global topology. The work begins by establishing the foundations of exterior algebra, homological algebra, and the geometry of smooth manifolds. From there, calculus is unified through the theory of differential forms, culminating in the generalized Stoke’s theorem. This analytical machinery allows for the construction of the de Rham complex and the computation of its homotopy invariants via the Mayer-Vietoris sequence. Subsequently, compactly supported co- homology is developed to prove the Poincaré duality isomorphism using the integration pairing and the five lemma. Finally, the profound consequences of this symmetry are explored, ranging from classical invariants such as Betti numbers and the Euler characteristic, to applications in theoretical physics.
Palabras clave
Variedades diferenciables , Formas diferenciales , Cohomología de De Rham , Dualidad de Poincaré , Álgebra homologica
Keywords
Smooth manifolds , Differential forms , De Rham cohomology , Poincaré duality , Homological algebra
